Bloque 3: TEOREMA DE TALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS

EL TEOREMA DE TALES AFIRMA: Si tres o mas paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de las otras, es decir, son proporcionales.

Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P,Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por los puntos P,Q y R, se originan los puntos U,V y W. en la figura las medidas son las siguientes: OP= 2cm; PQ= 2.5cm; OU= 3cm; UV= 3.75cm; VW= 4.5cm Al establecer proporciones con las medidas se observan: 2/3= 2.5/3.75= 3/4.5 es decir que las medidas de los segmentos correspondientes son proporcionales: OP/OU= PQ/UV= QR/UW. TEOREMA DE PITÁGORAS: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a2+b2=c2.

Tomando el tercer ejemplo buscando la incógnita c(hipotenusa) se resolvería así: a2+b2=c2 (21)2+(20)2= c2 441*400= c2 841= c2 Raiz cuadrada de 841= 29

Bloque 2: TEOREMAS DE TRIANGULOS CONGRUENTES Y SEMEJANTES

DEFINICIÓN DE CONGRUENCIA: De la misma forma y tamaño. DEFINICIÓN DE TEOREMA: Derivada del latín theorema, la palabra teorema consiste en una proposición que puede ser demostrada de manera lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anticipación. Este proceso de demostración se lleva a cabo mediante ciertas reglas de inferencia. El teorema, por lo tanto, puede ser descripto como una afirmación de importancia. Existen otras de menor rango, como ocurre con el lema (que pertenece a un teorema más largo), el corolario (que sigue de manera inmediata al teorema) o la proposición (un resultado que no se encuentra asociado a ningún teorema en específico). Cabe destacar que, hasta que la afirmación no logra ser demostrada, se la define como hipótesis o conjetura.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA: Postulado LAL: Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Postulado ALA: Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Postulado LLL: Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

DEFINICIÓN DE SEMEJANZA: Aplicada a una figura geométrica, la semejanza señala que la figura es distinta a otra solo por el tamaño, ya que sus partes guardan respectivamente la misma proporción. En este sentido, los triángulos semejantes son aquellos que guardan una relación de semejanza y tienen, por lo tanto, similar forma. En el caso de los triángulos, a diferencia de otras figuras, la forma depende sólo de sus ángulos. Dos triángulos son semejantes si emplean algunas de las siguientes propiedades: A) TODOS SUS LADOS SON PROPORCIONALES:

Lado a/ lado a'= 3/6=2 Lado b/ lado b'= 4/8=2 Lado c/ lado c'= 5/10=2 B) TIENE LOS TRES ÁNGULOS IGUALES:

C)UN ÁNGULO IGUAL Y LOS DOS LADOS QUE SE INICIAN EN DICHO VÉRTICE SON PROPORCIONALES:

D) DOS TRIÁNGULOS EN PROPORCIÓN DE TALES SON SEMEJANTES:

Bloque 1: ÁNGULOS

DEFINICIÓN: es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tiene el mismo punto de origen o de vértice.

En función de su posición, se denominan: Ángulos adyacentes: los que tienen un vértice y un lado común, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°. Ángulos consecutivos: los que tienen un lado y el vértice común. Ángulos opuestos por el vértice: aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas. En función de su amplitud, se denominan: Ángulos congruentes: aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo. Ángulos complementarios: aquellos cuya suma de medidas es 90°. Ángulos suplementarios: aquellos cuya suma de medidas es 180°. Ángulos conjugados: aquellos cuyas medidas suman 360°.

Ángulos entre paralelas: Al cortar dos rectas paralelas con una secante se forman 8 ángulos, los cuales se clasifican por parejas de acuerdo con la posición que tienen con la secante: Ángulos externos: ángulos situados fuera de la banda comprendida entre las rectas paralelas. Ángulos internos: ángulos situados en la banda comprendida entre las rectas paralelas Ángulos alternos internos: pares de ángulos internos no adyacentes Ángulos alternos externos: pares de ángulos externos no adyacentes localizados en distinto semiplano respecto a la secante. Ángulos conjugados internos: pares de ángulos internos localizados en un mismo semiplano con respecto a la secante. Ángulos conjugados externos: pares de ángulos externos situados en un mismo semiplano respecto a la secante. Ángulos correspondientes: pares de ángulos no adyacentes situados en un mismo semiplano con respecto a la secante; uno es interior y el otro es exterior.

Ángulos respecto de una circunferencia: Ángulo central: si tiene su vértice en el centro de ésta. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo semi-inscrito: si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones. Ángulo exterior: si tiene su vértice en el exterior de ésta. La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

TIPOS DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS: Rectángulo: contiene un ángulo de 90° que se encuentre enfrente de la hipotenusa. Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90°. Obtusángulo: tiene un ángulo mayor de 90°.